Новый метод позволяет математикам использовать технологии искусственного интеллекта для решения давних проблем в математике, физике и инженерии.
На протяжении столетий математики разрабатывали сложные уравнения для описания фундаментальной физики гидродинамики. Эти законы управляют всем: от вихревых потоков урагана до воздушных потоков, поднимающих крыло самолета.
Эксперты могут тщательно создавать сценарии, в которых теория противоречит практике, приводя к ситуациям, которые никогда не могли бы произойти физически. Эти ситуации, когда такие величины, как скорость или давление, становятся бесконечными, называются «сингулярностями» или «взрывами». Они помогают математикам определить фундаментальные ограничения в уравнениях гидродинамики и улучшить наше понимание того, как функционирует физический мир.
В новой работе представлено совершенно новое семейство математических взрывов для некоторых из самых сложных уравнений, описывающих движение жидкостей. Исследование проводится в сотрудничестве с математиками и геофизиками из ведущих университетов, включая Брауновский университет, Нью-Йоркский университет и Стэнфордский университет.
Наш подход предлагает новый способ использования методов ИИ для решения давних проблем в математике, физике и инженерии, требующих беспрецедентной точности и интерпретируемости.
Важность нестабильных сингулярностей
Стабильность является ключевым аспектом формирования сингулярностей. Сингулярность считается стабильной, если она устойчива к малым изменениям. Напротив, нестабильная сингулярность требует чрезвычайно точных условий.
Ожидается, что нестабильные сингулярности играют важную роль в фундаментальных вопросах гидродинамики, поскольку математики считают, что для сложных трехмерных уравнений Эйлера и Навье-Стокса без границ не существует стабильных сингулярностей. Нахождение любой сингулярности в уравнениях Навье-Стокса является одной из шести знаменитых проблем тысячелетия, которые до сих пор не решены.
С помощью наших новых методов ИИ мы представили первое систематическое открытие новых семейств нестабильных сингулярностей для трех различных уравнений жидкостей. Мы также наблюдали emerging pattern по мере того, как решения становятся все более нестабильными. Параметр λ, характеризующий скорость взрыва, может быть нанесен на график в зависимости от порядка нестабильности, который представляет количество уникальных способов отклонения решения от взрыва. Этот паттерн был виден в двух изученных уравнениях: уравнениях несжимаемой пористой среды (IPM) и уравнениях Буссинеска. Это предполагает существование более нестабильных решений, чьи гипотетические значения λ лежат вдоль той же линии.
Новый метод навигации по обширному ландшафту сингулярностей
Наш подход основан на использовании физически информированных нейронных сетей (PINNs). В отличие от обычных нейронных сетей, которые обучаются на больших наборах данных, мы обучали наши модели соответствовать уравнениям, моделирующим законы физики. Выход сети постоянно проверяется на соответствие тому, что ожидают физические уравнения, и она обучается путем минимизации своего «остатка» — величины, на которую ее решение не удовлетворяет уравнениям.
Встраивая математические инсайты и достигая экстремальной точности, мы превратили PINNs в инструмент открытия, который находит неуловимые сингулярности.
Наше использование PINNs выходит за рамки их типичной роли в качестве универсальных инструментов для решения дифференциальных уравнений в частных производных (PDEs). Встраивая математические инсайты непосредственно в обучение, мы смогли захватить неуловимые решения — такие как нестабильные сингулярности — которые долгое время бросали вызов традиционным методам.
В то же время мы разработали высокоточную framework, которая доводит PINNs до почти машинной точности, обеспечивая уровень accuracy, необходимый для строгих компьютерно-ассистированных доказательств.
Новая эра компьютерно-ассистированной математики
Этот прорыв представляет собой новый способ проведения математических исследований, сочетающий глубокие математические инсайты с передовым ИИ. Мы excited за то, что эта работа поможет открыть новую эру, в которой давние проблемы решаются с помощью ИИ и компьютерно-ассистированных доказательств.
Исследование демонстрирует, как современные технологии машинного обучения могут быть адаптированы для решения фундаментальных научных задач, открывая новые горизонты в междисциплинарных исследованиях.